PROBLEM SOLVING

    PENGERTIAN

George Polya : “solving a problem means  finding a way out difficulty, a way around an obstacle, attaining an aim which is not immediately attainable.”

Becker & Shimada (dalam McIntosh, R. & Jarret, D., 2000:5) menegaskan hal ini sebagai berikut:

“Genuine problem solving requires a problem that is just beyond the student’s skill level so that she will not automatically know which solution method to use. The problem should be nonroutine, in that the student perceives the problem as challenging and unfamiliar, yet not insurmountable.”

Problem solving adalah pendekatan dalam menyelesaikan permasalahan/ soal yang menantang pikiran siswa (challenging) dan soal tersebut tidak otomatis diketahui cara penyelesaiannya (nonroutine) berdasar data dan informasi yang akurat, sehingga dapat diambil kesimpulan yang tepat dan cermat.

Secara garis besar terdapat tiga macam interpretasi istilah problem solving dalam pembelajaran matematika, yaitu

1. Problem solving sebagai tujuan

Para pendidik, matematikawan, dan pihak yang menaruh perhatian pada pendidikan matematika seringkali menetapkan problem solving sebagai salah satu tujuan pembelajaran matematika. Bila problem solving ditetapkan atau dianggap sebagai tujuan pengajaran maka ia tidak tergantung pada soal atau masalah yang khusus, prosedur, atau metode, dan juga isi matematika. Anggapan yang penting dalam hal ini adalah bahwa pembelajaran tentang bagaimana menyelesaikan masalah (solve problems) merupakan “alasan utama” (primary reason) belajar matematika.

2. Problem solving sebagai proses

Pengertian lain tentang problem solving adalah sebagai sebuah proses yang dinamis. Dalam aspek ini, problem solving dapat diartikan sebagai proses mengaplikasikan segala pengetahuan yang dimiliki pada situasi yang baru dan tidak biasa. Dalam interpretasi ini, yang perlu diperhatikan adalah metode, prosedur, strategi dan heuristik yang digunakan siswa dalam menyelesaikan suatu masalah. Masalah proses ini sangat penting dalam belajar matematika dan yang demikian ini sering menjadi fokus dalam kurikulum matematika. Sebenarnya, bagaimana seseorang melakukan proses problem solving dan bagaimana seseorang mengajarkannya tidak sepenuhnya dapat dimengerti. Tetapi usaha untuk membuat dan menguji beberapa teori tentang pemrosesan informasi atau proses problem solving telah banyak dilakukan. Dan semua ini memberikan beberapa prinsip dasar atau petunjuk dalam belajar problem solving dan aplikasi dalam pengajaran.

3. Problem solving sebagai keterampilan dasar

Terakhir, problem solving sebagai keterampilan dasar (basic skill). Pengertian problem solving sebagai keterampilan dasar lebih dari sekedar menjawab tentang pertanyaan: apa itu problem solving?

    METODE PROBLEM SOLVING

 Georgi Polya di dalam karyanya yang diberinya judul How to Solve It (dalam Posamentier dan Stepelman, 1999), menyarankan metode heuristc di dalam problem solving sebagai berikut :

a. Memahami soal/masalah - selengkap mungkin.

Untuk dapat melakukan tahap 1 dengan baik, maka perlu latihan untuk memahami

masalah baik berupa soal cerita maupun soal non-cerita, terutama dalam hal:

1). apa saja pertanyaannya, dapatkah pertanyaannya disederhanakan,

2). apa saja data yang dipunyai dari soal/masalah, pilih data-data yang relevan,

3). hubungan-hubungan apa dari data-data yang ada.

b. Memilih rencana penyelesaian – dari beberapa alternatif yang mungkin.

Untuk dapat melakukan tahap 2 dengan baik, maka perlu keterampilan dan

pemahaman tentang berbagai strategi pemecahan masalah (ini akan di bahas lebih

lanjut pada bagian tersendiri).

c. Menerapkan rencana tadi – dengan tepat, cermat dan benar.

Untuk dapat melakukan tahap 3 dengan baik, maka perlu dilatih mengenai:

1). keterampilan berhitung,

2). keterampilan memanipulasi aljabar,

3). membuat penjelasan (explanation) dan argumentasi (reasoning).

d. Memeriksa jawaban – apakah sudah benar, lengkap, jelas dan argumentatif

(beralasan).

Untuk dapat melakukan tahap 4 dengan baik, maka perlu latihan mengenai:

1). memeriksa penyelesaian/jawaban (mengetes atau mengujicoba jawaban),

2). memeriksa apakah jawaban yang diperolah masuk akal,

3). memeriksa pekerjaan, adakah yang perhitungan atau analisis yang salah,

4). memeriksa pekerjaan, adakah yang kurang lengkap atau kurang jelas.

Siswa seringkali terjebak pada tahap 3 saja, sering melupakan tahap 4 dan mengabaikan

tahap 1 dan tahap 2.

Posamentier dan Krulik mengidentifikasi sejumlah strategi umum, yang biasa ditempuh dalam problem solving matematika, di antaranya yaitu :

a)   Lukis sebuah gambar atau diagram (make a picture or a diagram)

b)    Temukan pola

c)    Dugalah sebuah jawaban lalu memeriksanya (guess and check atau trial and error)

d)   Lakukan analisis mulai dari jawaban yang dikehendaki (working backward)

e)    Gunakan masalah yang lebih sederhana (use a simpler problem)

f)    Gunakan konteks yang lebih khusus atau kasus ( use a case problem)

g)   Temukan masalah yang serupa atau analog, menyelesaikannya, lalu membandingkannya dengan soal semula (use a similar problems)

h)   Gunakan kasus yang ekstrim (considering extreme cases)

i)     Gunakan titik pandang berbeda (adopting a different point of view)

j)    Gunakan sifat simetri atau pencerminan (use a symmetry)

k)   Buat persamaan (make an equation) atau buat notasi yang tepat (use appropriate notation)

l)     Pecahkan masalah menjadi beberapa submasalah lalu menyelesaikannya (devide into subproblems)

m) Buat tabel atau bentuk daftar lain yang sistematis seperti diagram pohon, diagram alir, atau barisan (make a table or an organized list)

n)   Gunakan kontadiksi (use cobtradiction)

o)    Melakukan percobaan (experimenting)

p)  Mempraktekkan masalah (act out the problem)

q)   Menggunakan deduksi atau rumus (use deduction)

r)    Menggunakan induksi matematika

Contoh

Berapa jumlah dari deret n suku dari 7 + 77 + 777 + 7777 + ...., dengan suku ke-k adalah bilangan k angka yang setiap angkanya adalah 7.

Langkah pertama, pahami dahulu masalah yang ada yakni soal mengenai jumlah dari deret. Kedua,memilih rencana penyelesaian yakni dengan menggunakan masalah yang serupa atau analog, menyelesaikannya, lalu membandingkannya dengan soal semula (use a similar problems).

Ketiga, menerapkan rencana sebelumnya. Keempat, memeriksa apakah jawaban tadi masuk akal atau adakah perhitungan atau analisis yang salah.

Rutin:

Umumnya dilakukan dengan mencari bentuk penjumlahan beberapa suku untuk menemukan apakah ada pola yang terlihat. Namun akan segera terlihat, bahwa strategi ini tidak cocok.

Menggunakan masalah yang mirip/analog:

Pandang deret berikut hingga suku ke-n .

9 + 99 + 999 + .... = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + ....

= (10 + 100 + 1000 + ... ) – ( 1 + 1 + 1 + ... )

=  - n

Oleh karena 7 =  maka

7 + 77 + 777 + ... =

Gunakan masalah yang lebih sederhana (use a simpler problem)

Suatu masalah kadang lebih mudah diselesaikan bila kita membuatnya menjadi lebih sederhana. Cara ini dapat ditempuh dengan menyederhakan bentuk atau variabel.

Contoh.

Buktikan bahwa untuk setiap a, b, c, d bilangan real antara 0 dan 1, berlaku hubungan: (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d) > 1 – a – b – c – d.

Rutin:

Umumnya kita terjebak dengan menganalisis ketaksamaan di atas, namun analisis ini cenderung panjang dan mungkin melelahkan.

Menggunakan masalah serupa yang lebih sederhana:

Pandang (1 – a)(1 – b) > 1 – a – b.

Ini mudah dibuktikan, karena (1 – a)(1 – b) = 1 – a – b + ab > 1 – a – b . Kemudian kalikan kedua ruas dengan (1 – c) sebagai berikut:

(1 – a)(1 – b)(1 – c) > (1 – a – b)(1 – c)

= 1 – a – b – c + ab + bc

> 1 – a – b – c

sehingga (1 – a)(1 – b)(1 – c) > 1 – a – b – c.

Cara serupa diterapkan kembali dengan mengalikan (1 – d) pada kedua ruas, untuk memperoleh ketaksamaan yang hendak dibuktikan.

Gunakan kontradiksi (use contradiction)

Contoh.

Buktikan bahwa bilangan prima ada tak hingga banyaknya.

Rutin:

Biasanya siswa tidak memiliki ide untuk menyelesaikan masalah ini. Tidak ada prosedur rutin yang mereka pelajari yang dapat membantu menyelesaikan masalah tersebut.

Menggunakan kontradiksi:

Andaikan saja ada berhingga banyaknya bilangan prima, katakanlah yang tertinggi adalah P. Sekarang dapatkah kita menyusun suatu kontradiksi dengan pengandaian ini.

Perhatikan, bahwa kita dapat mengalikan seluruh bilangan prima yang ada. Katakanlah hasil kalinya adalah K.

K = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × ... × P

Tapi perhatikan bahwa K + 1 adalah sebuah bilangan prima, karena bilangan baru yang lebih besar dari P ini tidak dapat dibagi dengan bilangan prima yang lainnya. Dengan demikian tidak benar bahwa ada bilangan prima terbesar P. Karena itu jelas bahwa bilangan prima ada tak hingga banyaknya.

Kelebihan Pembelajaran Problem Solving

1. Melatih siswa untuk mendesain suatu penemuan.

2. Berpikir dan bertindak kreatif.

3. Memecahkan masalah yang dihadapi secara realistis

4. Mengidentifikasi dan melakukan penyelidikan.

5. Menafsirkan dan mengevaluasi hasil pengamatan.

6. Merangsang perkembangan kemajuan berfikir siswa untuk menyelesaikan masalah yang dihadapi dengan tepat.

7. Dapat membuat pendidikan sekolah lebih relevan dengan kehidupan, khususnya dunia kerja.

Kelemahan pembelajaran  problem solving

1. Memerlukan alokasi waktu yang lebih panjang dibandingkan dengan metode pembelajaran yang lain

2. Pengembangan program membutuhkan biaya tinggi dan waktu yang lama.

3. Pengadaan dan pemeliharaan alat mahal .

Selanjutnya, untuk menambah wawasan tentang kesalahan dan hambatan yang sering muncul dalam memecahkan masalah, berikut ini daftar yang disadur dari buku tulisan Arthur Whimbey dan Jack Lochhead tahun 1999 yang berjudul “Problem solving and Comprehension”.

1. Ketidakcermatan dalam membaca.

a. Membaca soal tanpa perhatian yang kuat pada makna/pengertiannya.

b. Mengabaikan satu atau lebih kata yang kurang familiar.

c. Mengabaikan satu atau lebih fakta atau ide.

d. Tidak membaca kembali bagian yang sulit.

e. Memulai menyelesaikan soal sebelum membaca lengkap soal tersebut.

2. Ketidakcermatan dalam berpikir.

a. Mengabaikan akurasi (mendahulukan kecepatan).

b. Mengabaikan kecermatan penggunaan beberapa operasi.

c. Mengartikan kata atau melakukan operasi secara tidak konsisten.

d. Tidak memeriksa rumus atau prosedur saat merasa ada yang tidak benar.

e. Bekerja terlalu cepat.

f. Mengambil kesimpulan di pertengahan jalan tanpa pemikiran yang matang.

3. Kelemahan dalam analisis masalah.

a. Gagal membedah masalah kompleks menjadi bagian-bagian atau gagal menggunakan bagian-bagian masalah untuk memahami masalah secara keseluruhan.

b. Tidak menggunakan pengetahuan atau konsep utama untuk mencoba memahami ide-ide yang kurang jelas.

c. Tidak menggunakan kamus atau sumber lainnya saat diperlukan untuk mamahami masalah.

d. Tidak secara aktif mengkonstruksi ide atau gagasan di atas kertas (bila coret-coretan di atas kertas dapat membantu memahami masalahnya).

4. Kekuranggigihan.

a. Tidak percaya diri atau menganggap enteng masalah.

b. Memilih jawaban berdasarkan intuisi belaka (menggunakan perasaan dalam mencoba menebak jawaban).

c. Menyelesaikan masalah hanya secara teknis belaka tanpa pemikiran.

d. Berpikir nalar hanya pada bagian kecil masalah, menyerah, lalu melompat pada kesimpulan.

e. Menggunakan pendekatan “sekali tembak” dalam menyelesaikan masalah, dan bila tidak berhasil lalu menyerah.

Daftar Pustaka

Goldin, G. A. & McClintock, C. E. “The theme symmetry in problem solving” dalam

Krulik, S. & Reys, R. E. (editor). 1980. Problem solving in school mathematics.

New York: the National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Musser, G. L. “Problem-solving strategies in school mathematics” dalam Krulik, S. &

Reys, R. E. (editor). 1980. Problem solving in school mathematics. New York:

the National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Polya, G. 1945. How To Solve It, a new aspect of mathematical method. New Jersey:

Princeton University Press.

Posamentier, A. S. & Stepelman, J. 1999. Teaching Secondary School Mathematics,

techniques & enrichment units. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.